짝수, 홀수에 대한 정리는 앞서 얘기했던 소수에 대한 정리와는 달리 수식의 전개만으로 증명이 되는 정리입니다.
전제
- 모든 자연수는 짝수 아니면 홀수이다.
- 짝수는 2로 나누었을 때 정확히 나누어 지는 즉 0이 남는 수이다.
- 홀수는 2로 나누었을 때 1이 남는 수이다.
- 자연수 끼리의 덧셈과 곱셉은 항상 자연수이다.(닫힘 성질)
정리1. 짝수와 짝수의 합은 짝수이다.
짝수는 아래와 같이 2에 곱으로 표현되는 모든 자연수이다.
n = 자연수
짝수 = 2 * n
따라서 짝수와 짝수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= 2 * n + 2 * m
= 2 * (n + m)
(n + m)의 결과는 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 이 식은 결국 '2 * 자연수'의 형식을 갖게되며 이 형식은 짝수의 정의를 만족하기 때문에 짝수와 짝수의 합은 항상 짝수라는 것이 증명된다.
정리2. 홀수와 홀수의 합은 짝수이다.
홀수는 아래와 같이 짝수에 1을 더한 수라 할 수 있다.
n = 자연수
홀수 = (2 * n) + 1
따라서 홀수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + 1 + (2 * m) + 1
= (2 * n) + (2 * m) + 2
= 2 * (n + m + 1)
따라서 정리1에서 언급했던 것처럼 짝수의 정의를 만족시키기 때문에 홀수와 홀수의 합은 항상 짝수임이 증명된다.
정리3. 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.
짝수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + (2 * m + 1)
= 2 * (n + m) + 1
위에서 (n + m)은 정리1에서 언급한 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 따라서 정리2에서 업급한 홀수의 정의를 만족시키기 때문에 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.
WRITTEN BY
- 차민창
르세상스 엔지니어가 사회를 이끌어나가는 상상을 하며!