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최근 보고 있는 대수학 책의 내용 중 짝수, 홀수 합에 대한 정리가 있어 흥미롭게 읽어보았습니다. 사실 처음 수학에 대해서 관심을 갖게 된 동기는 개발을 좀 더 잘해보자입니다만, 이것 저것 보다보니 정리에 대해서도 관심이 많이 갑니다. 그러니깐 수학 자체에 대해서 관심이 생기는 것 같습니다.

짝수, 홀수에 대한 정리는 앞서 얘기했던 소수에 대한 정리와는 달리 수식의 전개만으로 증명이 되는 정리입니다.

전제
- 모든 자연수는 짝수 아니면 홀수이다.
- 짝수는 2로 나누었을 때 정확히 나누어 지는 즉 0이 남는 수이다.
- 홀수는 2로 나누었을 때 1이 남는 수이다.
- 자연수 끼리의 덧셈과 곱셉은 항상 자연수이다.(닫힘 성질)

정리1. 짝수와 짝수의 합은 짝수이다.

짝수는 아래와 같이 2에 곱으로 표현되는 모든 자연수이다.

n = 자연수
짝수 = 2 * n

따라서 짝수와 짝수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= 2 * n + 2 * m
= 2 * (n + m)

(n + m)의 결과는 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 이 식은 결국 '2 * 자연수'의 형식을 갖게되며 이 형식은 짝수의 정의를 만족하기 때문에 짝수와 짝수의 합은 항상 짝수라는 것이 증명된다.

정리2. 홀수와 홀수의 합은 짝수이다.

홀수는 아래와 같이 짝수에 1을 더한 수라 할 수 있다.

n = 자연수
홀수 = (2 * n) + 1

따라서 홀수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + 1 + (2 * m) + 1
= (2 * n) + (2 * m) + 2
= 2 * (n + m + 1)

따라서 정리1에서 언급했던 것처럼 짝수의 정의를 만족시키기 때문에 홀수와 홀수의 합은 항상 짝수임이 증명된다.

정리3. 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.

짝수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + (2 * m + 1)
= 2 * (n + m) + 1

위에서 (n + m)은 정리1에서 언급한 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 따라서 정리2에서 업급한 홀수의 정의를 만족시키기 때문에 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.

WRITTEN BY
차민창
르세상스 엔지니어가 사회를 이끌어나가는 상상을 하며!

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