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최근 보고 있는 대수학 책의 내용 중 짝수, 홀수 합에 대한 정리가 있어 흥미롭게 읽어보았습니다. 사실 처음 수학에 대해서 관심을 갖게 된 동기는 개발을 좀 더 잘해보자입니다만, 이것 저것 보다보니 정리에 대해서도 관심이 많이 갑니다. 그러니깐 수학 자체에 대해서 관심이 생기는 것 같습니다.
짝수, 홀수에 대한 정리는 앞서 얘기했던 소수에 대한 정리와는 달리 수식의 전개만으로 증명이 되는 정리입니다.
전제
정리1. 짝수와 짝수의 합은 짝수이다.
정리2. 홀수와 홀수의 합은 짝수이다.
정리3. 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.
짝수, 홀수에 대한 정리는 앞서 얘기했던 소수에 대한 정리와는 달리 수식의 전개만으로 증명이 되는 정리입니다.
전제
- 모든 자연수는 짝수 아니면 홀수이다.
- 짝수는 2로 나누었을 때 정확히 나누어 지는 즉 0이 남는 수이다.
- 홀수는 2로 나누었을 때 1이 남는 수이다.
- 자연수 끼리의 덧셈과 곱셉은 항상 자연수이다.(닫힘 성질)
정리1. 짝수와 짝수의 합은 짝수이다.
짝수는 아래와 같이 2에 곱으로 표현되는 모든 자연수이다.
n = 자연수
짝수 = 2 * n
따라서 짝수와 짝수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= 2 * n + 2 * m
= 2 * (n + m)
(n + m)의 결과는 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 이 식은 결국 '2 * 자연수'의 형식을 갖게되며 이 형식은 짝수의 정의를 만족하기 때문에 짝수와 짝수의 합은 항상 짝수라는 것이 증명된다.
정리2. 홀수와 홀수의 합은 짝수이다.
홀수는 아래와 같이 짝수에 1을 더한 수라 할 수 있다.
n = 자연수
홀수 = (2 * n) + 1
따라서 홀수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + 1 + (2 * m) + 1
= (2 * n) + (2 * m) + 2
= 2 * (n + m + 1)
따라서 정리1에서 언급했던 것처럼 짝수의 정의를 만족시키기 때문에 홀수와 홀수의 합은 항상 짝수임이 증명된다.
정리3. 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.
짝수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + (2 * m + 1)
= 2 * (n + m) + 1
위에서 (n + m)은 정리1에서 언급한 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 따라서 정리2에서 업급한 홀수의 정의를 만족시키기 때문에 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.
WRITTEN BY
- 차민창
르세상스 엔지니어가 사회를 이끌어나가는 상상을 하며!
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