'수학 이야기'에 해당하는 글 3건

최근 보고 있는 대수학 책의 내용 중 짝수, 홀수 합에 대한 정리가 있어 흥미롭게 읽어보았습니다. 사실 처음 수학에 대해서 관심을 갖게 된 동기는 개발을 좀 더 잘해보자입니다만, 이것 저것 보다보니 정리에 대해서도 관심이 많이 갑니다. 그러니깐 수학 자체에 대해서 관심이 생기는 것 같습니다.

짝수, 홀수에 대한 정리는 앞서 얘기했던 소수에 대한 정리와는 달리 수식의 전개만으로 증명이 되는 정리입니다.

전제
- 모든 자연수는 짝수 아니면 홀수이다.
- 짝수는 2로 나누었을 때 정확히 나누어 지는 즉 0이 남는 수이다.
- 홀수는 2로 나누었을 때 1이 남는 수이다.
- 자연수 끼리의 덧셈과 곱셉은 항상 자연수이다.(닫힘 성질)

정리1. 짝수와 짝수의 합은 짝수이다.

짝수는 아래와 같이 2에 곱으로 표현되는 모든 자연수이다.

n = 자연수
짝수 = 2 * n

따라서 짝수와 짝수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= 2 * n + 2 * m
= 2 * (n + m)

(n + m)의 결과는 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 이 식은 결국 '2 * 자연수'의 형식을 갖게되며 이 형식은 짝수의 정의를 만족하기 때문에 짝수와 짝수의 합은 항상 짝수라는 것이 증명된다.

정리2. 홀수와 홀수의 합은 짝수이다.

홀수는 아래와 같이 짝수에 1을 더한 수라 할 수 있다.

n = 자연수
홀수 = (2 * n) + 1

따라서 홀수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + 1 + (2 * m) + 1
= (2 * n) + (2 * m) + 2
= 2 * (n + m + 1)

따라서 정리1에서 언급했던 것처럼 짝수의 정의를 만족시키기 때문에 홀수와 홀수의 합은 항상 짝수임이 증명된다.

정리3. 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.

짝수와 홀수의 합은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
= (2 * n) + (2 * m + 1)
= 2 * (n + m) + 1

위에서 (n + m)은 정리1에서 언급한 자연수의 덧셈에 대한 닫힘 성질에 따라 자연수가 된다. 따라서 정리2에서 업급한 홀수의 정의를 만족시키기 때문에 짝수와 홀수의 합은 홀수이다.

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차민창
르세상스 엔지니어가 사회를 이끌어나가는 상상을 하며!

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  1. 정재훈 2009.03.21 14:46
    premise를 잘 세워놓으면 깨끗하게 도출되는 theorem들.
    이산수학 시간에 mathematical induction 공부하면서 재미있었던 기억이 나네.^^
    • 역시 재훈이형은 이미 예전에 다 맛보신 내용들이군요. :) 저는 지금에서야 보는데 너무 재밌는 것 같아요. 빨리 실력이 늘었으면 좋겠습니다.
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예전 어린 시절 소프트웨어 개발자라는 것은 제게 동경의 대상이였습니다. 그때는 소프트웨어 개발에 대해서 잘 몰랐습니다. 때때로 막연하게 제가 소프트웨어 개발을 하는 모습을 상상해보았습니다. 낭만적인 상상들이 제 머리를 지나가고 상상만으로도 너무 즐거웠습니다. 가끔 게임 잡지나 PC전문잡지에서 유명 개발자들의 인터뷰 내용을 보았습니다. 이런 사람들을 닮고 싶다라고 생각했고 마음속에 열정이 타올랐습니다. 제게 있어 소프트웨어 개발자가 되는 것은 꼭 이루고 싶은 꿈 중 하나였던 것이였습니다.

놀랍게도 꿈이 이루어졌습니다. 저는 지금 소프트웨어 개발자로 일하고 있습니다. 소프트웨어 개발자가 되어 일해보니 제가 예전에 상상했던 것처럼 모든 것이 낭만적이지 않긴 합니다. 그렇지만 여전히 소프트웨어 개발은 멋진 일이라 생각됩니다. 또한 저는 소프트웨어 개발을 통해 많은 즐거움을 느끼고 있습니다.

그리고 최근 새로운 동경에 대상이 생겼습니다. 새로운 대상은 바로 수학입니다. 이 느낌은 어린 시절 소프트웨어 개발자가 되고 싶어했던 마음과도 유사합니다. 저는 학창시절 게으른 시간을 보낸탓에 기초적인 수학 능력이 매우 부족합니다. 어쩌면 아는 것이 거의 없을지도 모릅니다. 그렇지만 수학을 배우는 것이 제게 큰 기쁨을 줄 것 같고 수학을 이용해서 무엇인가 가치있는 일을 할 수 있을 것 같은 느낌이 듭니다.

얼마 전 저는 하디라는 수학자가 쓴 수필 집을 읽고 있었습니다. 그리고 그 책에 통해 2,000년전 유클리드가 증명한 '소수는 무한히 존재한다'라는 증명에 대해 이해할 수 있었습니다. 사실 책에서 밝히기로는 일반인도 이해할 수 있는 매우 쉬운 정리라고 합니다. 하지만 제게는 이 증명에 대한 이해가 매우 의미있는 한 걸음으로 느껴졌습니다. 마치 예전에 아무것도 모르면서 무작정 GW베이직을 띄우고 짦은 코드를 만들어 무엇인가를 출력한 후에 느꼈던 기쁨과도 유사한 것 같습니다. 별거 아닌걸 알면서도 무척이나 자랑스럽다고 해야할까요?

솔직히 제가 수학에 뭔가 재능이 있다는 생각은 들지 않습니다. 그렇지만 흥미가 있고 관심이 간다는 것이 자꾸 수학을 곁눈질하는 유일한 이유인 것 같습니다. 인터넷을 돌아다니다보면 매우 기초적인 내용을 꾸준히 블로그에 올리는 블로거들이 있습니다. 저 역시 이와 같이 앞으로 별거 아니겠고 매우 초보적인 내용이겠지만 수학에 대해서 느끼고 배우는 것을 블로그를 통해 자주 정리해보고자 합니다. 새롭게 생긴 동경이 좋은 열매를 맺었으면 좋겠습니다.

추신. 이 글은 2008년 9월 경에 썼던 글인데, 지금 마무리 하게 되네요. 지금도 제 마음은 변하지 않았으며 최근에도 대수학을 열심히 공부 중입니다. 다만 글을 많이 올리지는 못했네요. :)

2008/09/04 ~ 2009/03/16


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차민창
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  1. 예전에도 제가 헛소리하다가 얼핀 얘기한것같습니다만, 음악을 일례로, 흥얼흥얼 따라부를수있는것과 좋다/싫다를 느끼는 감정, 반음 떨어지면서 느끼는 이상한 기분들이 이미 음악에서 알려진 대부분의 Harmony를 알고있다라는...

    그것들을 체계화된 공식으로 문서화하고 전파하는것이 바로 학문인것 같습니다. 수라는 개념도 사실 대부분 알고있고, 그것들을 체계화하고 정리하여 지식을 전파하는게 수학이라고 생각합니다. 지금부터 하나하나 그 느낌을 지식으로 체계화시키면, 민창대리님은 보다 멋진 Guy가 될게 틀림없네요.

    P.S. 참고로 저는 요즘 반대로 가려 하고있습니다. 1 + 1 은 2라는 체계화된 지식들은 때론 더 나은 세계로의 발걸음을 망치거든요.
    • ㅋ 생각치도 못한 분이 덧글을 남겨주셨네요. 학문에 대한 정의 그리고 수학에 대한 정의 매우 공감하고요, 격려해 주셔서 감사합니다.

      저도 빨리 수학에 많이 익숙해져서 반대로 가야 할 필요를 느끼는 순간이 빨리 왔으면 좋겠네요. :)
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수학 관련 수필을 읽을 때 수학자들이 아름답다고 칭찬하는 정리가 있습니다. 그중 하나가 유클리드라는 대수학자가 2,000년전에 증명한 '소수는 무한이라'라는 정리입니다.

이 정리는 아래와 같은 수의 성질을 전제로 합니다.
- 모든 자연수는 소수가 아니면 합성수이다.
- 소수는 1과 자기 자신으로밖에 나누어지지 않는 1보다 큰 자연수이다.(예. 2, 3, 5)
- 합성수는 1과 그 자신 이외의 수를 약수로 가지는 자연수이다. 합성수는 모두 소수의 곱으로 분해될 수 있다.(예. 4 = 2 * 2, 6 = 2 * 3, 8 = 2 * 2 * 2, 9 = 3 * 3)

제가 듣기론 지금도 소수 출현에 대한 규칙이 발견되지 않았다고 합니다. 따라서 소수가 유한한지 무한한지도 모르는 상황이지요. 이런 상황에서 유클리드는 아래와 같이 명제의 모순을 증명하는 귀류법을 사용하여 소수가 무한이다라는 것을 증명하였습니다.

만약 소수가 유한하다면 아래와 같이 소수들의 곱을 나타내는 식을 써볼 수 있습니다.
2 * 3 * 5 * 7 ... * 마지막 소수
이 경우 소수들의 곱의 결과는 수의 성질에 따라 합성수가 됩니다. 위 식을 기반으로 아래와 같이 조금 다르게 표현해봅니다.
2 * 3 * 5 * 7 ... * 마지막 소수 + 1
위와 같이 소수의 곱에 더하기 1을 하면 이 수는 더이상 합성수가 아닙니다. 왜냐하면 합성수는 자신을 구성하는 어떤 소수로든 나누었을 때 0으로 나누어 떨어지는 성질이 있는데 위와 같은 경우에는 어떤 소수로 나누더라도 항상 1이 남기 때문입니다.

위에서 모든 자연수는 소수가 아니면 합성수라고 했는데 위 식의 결과는 합성수가 아니기 때문에 결국 소수라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 처음에 우리가 정의했던 마지막 소수라는 것은 실제로는 존재하지 않는다라는 것을 알 수 있습니다. 즉 소수는 무한하다라는 것이 증명됩니다.

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차민창
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  1. 똑똑한 놈들...
  2. 서점에 갔더니 스티븐 호킹이 편집한 'God Created the Integers'란 책이 있더군요. 거기에 유클리드의 이 증명이 나오던데 좀 더 기하학적으로 증명하는 것 같더군요. 두께에 비해서 싸던데 함 보세요 ㄷㄷㄷ
  3. 리만가설
    소수의 음악

    두권 추천이요. ^^

    "리만 제타 함수의 자명하지 않은 근의 실수부는 1/2이다."라는 엽기적인 가설이죠. 제대로 증명되지 않은 녀석들 중에 꽤 많은 사람들이 골치아퍼 하는 것이기도 하고요.
    "페르마의 마지막 정리"와 함께 1900년에 힐베르트가 "20세기 내에 해결하고 싶은(;;;) 7대 수학문제"로 손꼽았던 녀석이죠.
    저 "리만"이라는 사람은 "가우스"의 제자였기도 하고요.(네. 그 가우스 맞습니다. 뭐, 가우스 제자야 워낙 많지만...)
    한번 보실만 할 겁니다. ^^;
  4. 아참, 갑자기 리만 가설 이야기를 한 이유는...
    만약 증명 된다면(수학자들은 "맞을 것이다"라고 생각한다는 군요. 증명은 안됐지만.) 소수 출현 규칙을 설명할 수 있는 가장 근접한 이론(거리는 좀 있긴 하지만.. 어쨌건 리만 가설 자체가 소수에 대한 접근과 관련이 있긴 합니다..) 이라고 이야기 할 정도라서요. ^^;;
    • 요즘 느끼는 것인데 수학 관련 얘기들은 참 재밌네요 ㅋ 추천해주신 책들 기회되면 꼭 보도록 할께요. 고맙습니다.
  5. 이 주제와 관련 된 흥미로운 글을 소개합니다. 저도 잠시 생각해보았는데 명쾌한 결론은 아직 내리지 못했습니다. 좀더 생각해보아야 할 것 같아요. :)

    http://dailymaybe.egloos.com/3423559
  6. 방방이 2014.02.07 02:02
    마지막 소수 까지의 곱과 +1 이 합성수가 되는 경우가 있습니다. 그 경우 일때 따로 증명 해야합니다
    • 유클리드짱 2014.03.18 13:05
      이해를 잘 못하신듯. 그럴 필요가 없습니다.
    • 유클리드짱짱맨 2016.01.31 14:07
      유클리드는 소수의 갯수가 무한이라고 하는 증명을 한것이죠.
      새로운 숫자 = 마지막으로 발견된 소수까지의 곱에서 +1을 한 값은 소수곱으로 소인수 분해되지 않는 숫자입니다. 그러므로 소수가 어떤 특정숫자를 마지막으로 끝이난다고 할 수 없으므로 유한하지 않다라는 것이죠.
      이것이 방방이님 말씀처럼. 새로운 숫자가 합성수가 된다는 것 자체가 이전의 소수곱으로 이뤄진 숫자는 아니게 되는 거죠.
  7. ㅁㄴㅇ 2014.12.20 22:21
    허.. 아주 기발한 생각이네요 ㅋㅋ 잘배우고갑니당
  8. 위와 같이 소수의 곱에 더하기 1을 하면 이 수는 더이상 합성수가 아닙니다.
    -> 이말은 틀린것같습니다(논리적 비약) . 이 수는 소수 이거나 이전의 소수의 집합으로 표현이 되지 않는 합성수(즉 더 큰 소수가 필요)라고 하는게 맞을 것 같은데요.
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