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수학 관련 수필을 읽을 때 수학자들이 아름답다고 칭찬하는 정리가 있습니다. 그중 하나가 유클리드라는 대수학자가 2,000년전에 증명한 '소수는 무한이라'라는 정리입니다.

이 정리는 아래와 같은 수의 성질을 전제로 합니다.
- 모든 자연수는 소수가 아니면 합성수이다.
- 소수는 1과 자기 자신으로밖에 나누어지지 않는 1보다 큰 자연수이다.(예. 2, 3, 5)
- 합성수는 1과 그 자신 이외의 수를 약수로 가지는 자연수이다. 합성수는 모두 소수의 곱으로 분해될 수 있다.(예. 4 = 2 * 2, 6 = 2 * 3, 8 = 2 * 2 * 2, 9 = 3 * 3)

제가 듣기론 지금도 소수 출현에 대한 규칙이 발견되지 않았다고 합니다. 따라서 소수가 유한한지 무한한지도 모르는 상황이지요. 이런 상황에서 유클리드는 아래와 같이 명제의 모순을 증명하는 귀류법을 사용하여 소수가 무한이다라는 것을 증명하였습니다.

만약 소수가 유한하다면 아래와 같이 소수들의 곱을 나타내는 식을 써볼 수 있습니다.
2 * 3 * 5 * 7 ... * 마지막 소수
이 경우 소수들의 곱의 결과는 수의 성질에 따라 합성수가 됩니다. 위 식을 기반으로 아래와 같이 조금 다르게 표현해봅니다.
2 * 3 * 5 * 7 ... * 마지막 소수 + 1
위와 같이 소수의 곱에 더하기 1을 하면 이 수는 더이상 합성수가 아닙니다. 왜냐하면 합성수는 자신을 구성하는 어떤 소수로든 나누었을 때 0으로 나누어 떨어지는 성질이 있는데 위와 같은 경우에는 어떤 소수로 나누더라도 항상 1이 남기 때문입니다.

위에서 모든 자연수는 소수가 아니면 합성수라고 했는데 위 식의 결과는 합성수가 아니기 때문에 결국 소수라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 처음에 우리가 정의했던 마지막 소수라는 것은 실제로는 존재하지 않는다라는 것을 알 수 있습니다. 즉 소수는 무한하다라는 것이 증명됩니다.

WRITTEN BY
차민창
르세상스 엔지니어가 사회를 이끌어나가는 상상을 하며!

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